En este trabajo se presentan las observaciones obtenidas de los
alumnos del curso de Álgebra para Ingeniería III de un Instituto
Tecnológico de México D.F, en cuanto a su nivel de construcción
del concepto de espacio vectorial de acuerdo a la teoría APOE
(Acción – Proceso – Objeto - Esquema).
Esta teoría (ver Asiala, et al., 1996) tiene una componente
pedagógica que está basada en el ciclo de enseñanza ACE
(Actividades en la computadora, Discusiones en clase, Ejercicios) que
se utiliza en este curso.
Tomando en cuenta una descomposición genética reportada en
Trigueros y Oktaç(2005), se ha diseñado y aplicado una entrevista,
que consiste de 17 preguntas, basada en la teoría APOE a 6 alumnos
elegidos como casos representativos de la muestra, aquí sólo se
presentan la preguntas 1 y 2. Con esta entrevista se pretende obtener
información acerca de las construcciones mentales que poseen del
concepto de espacio vectorial después de haber estudiado este tema.
Los datos obtenidos de las entrevistas son analizados utilizando el
mismo marco teórico.
Con este trabajo se pretende explicar las concepciones e identificar
las dificultades de los alumnos en relación al concepto de espacio
vectorial.
Vargas,
X (2007): Un estudio del concepto de espacio vectorial
desde el punto de vista de la teoría APOE [Disco compacto]. XII
Conferencia Interamericana de Educación Matemática. Eds.
Mancera, E., Pérez, C. Querétaro: Benemérita Escuela Normal de
Querétaro. Querétaro, México. Disponible Aquí.
UN
ESTUDIO DEL CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL DESDE EL PUNTO DE VISTA DE
LA TEORIA APOE
Xaab
Nop Vargas Vásquez,
Centro Especializado en Atención al Rendimiento Escolar en Matemáticas
1.
Planteamiento
El
aprendizaje de los conceptos del álgebra lineal por parte de los
alumnos ha sido uno de los temas que varios investigadores han
abordado. Muchas de tales investigaciones dan cuenta de la naturaleza
de las dificultades de los alumnos con las nociones abstractas del
álgebra lineal y pocas intentan dar sugerencias pedagógicas.
El
concepto de espacio vectorial representa una dificultad en los
alumnos; puesto que tienen que encontrarle un significado en los
problemas que se les plantea; demanda en ellos una necesidad
intelectual, se enfrentan a los distintos lenguajes, modos de
representación y registros semióticos usados enfrentándose a la
necesidad de transitar de un lenguaje o forma de representación a
otro. Investigaciones
anteriores (Dorier y Sierpinska, 2001; Maracci, 2005; Fisher 2005;
Trigueros y Oktaç
2005)
dan cuenta de que la construcción del esquema del concepto de
espacio vectorial presenta dificultades para los alumnos puesto que
representa el comienzo de la formalización de los conceptos que han
visto anteriormente. Con este trabajo se pretende explicar las
concepciones e identificar las dificultades de los alumnos en
relación al concepto de espacio vectorial.
2.
Marco teórico
La
teoría APOE (Acción, Proceso, Objeto, Esquema) es una adaptación
de las ideas piagetianas al aprendizaje de la matemática en la
educación superior, en la cual “el
conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder
ante situaciones matemáticas problemáticas reflexionando sobre
ellas en un contexto social y construyendo o reconstruyendo acciones,
procesos y objetos matemáticos y organizándolos en esquemas con el
fin de manejar las situaciones” (Dubinsky,
1996). La construcción del conocimiento matemático según esta
perspectiva teórica “pasa
por tres etapas principales: acción, proceso y objeto” (Asiala
et al, 2006), la transición de una etapa a otra no necesariamente es
lineal sino que un individuo puede encontrarse en una etapa con algún
aspecto del concepto que está aprendiendo y encontrarse en otra
etapa con otro aspecto del mismo concepto, más aún, el individuo
puede encontrarse en etapas intermedias. “El
mecanismo principal de la construcción del conocimiento matemático
dentro de esta teoría es la abstracción reflexiva. Este mecanismo
se activa a través de las acciones físicas o mentales que el
individuo realiza sobre los objetos del conocimiento, por medio de la
reflexión del sujeto sobre sus acciones mismas. Tal como en la
teoría de Piaget, la interacción entre el sujeto y el objeto de
conocimiento es considerada una dialéctica” (Trigueros y Oktaç,
2005).
3.
Metodología
Tomando
en cuenta una descomposición genética reportada en Trigueros y
Oktaç (2005), se ha diseñado
y aplicado una entrevista 6 alumnos
de un curso de Álgebra para Ingeniería III de un Instituto
Tecnológico de México D.F, que siguieron el
libro de texto escrito por el grupo RUMEC (Research in Undergraduate
Mathematics Education Community) (Weller, et al, 2002), en
cuanto a su nivel de construcción del concepto de espacio vectorial
de acuerdo a la teoría. APOE
(ver
Asiala, et al., 1996) tiene una componente pedagógica que está
basada en el ciclo de enseñanza ACE (Actividades
en la computadora, Discusiones en Clase,
Ejercicios)
utilizado en este curso junto con CAS
Maple para las actividades en la computadora.
Dos
de los alumnos entrevistados fueron identificados en el nivel alto
(denotados por A1 y A2) de acuerdo a sus puntajes obtenidos en un
primer examen, otros dos estuvieron en el nivel medio (M1 y M2), y
los dos restantes fueron clasificados en el nivel bajo (B1 y B2),
seleccionados aleatoriamente de estos tres subgrupos.
La
entrevista consistió de
17 preguntas, aquí se
presentan dos de ellas (1
y 2)
junto con su análisis a
priori.
Pregunta
1.- ¿Qué significa que un conjunto con dos operaciones binarias
(suma y producto) sea cerrado, asociativo, conmutativo, distributivo?
Análisis:
Se
quiere observar el nivel de construcción del alumno en relación a
las operaciones binarias y sus propiedades, el alumno podría:
No
contestar esta pregunta.
Presentar
dificultades en la definición de todas las propiedades mencionadas o
repetirlas tratando de recordar alguna característica sin
explicarlas. En
este caso el alumno presenta dificultades incluso para hacer
operaciones de nivel acción.
Mencionar
las propiedades explícitamente sobre casos concretos eligiendo
ejemplos y pensando que son suficientes para mostrar la propiedad. En
este caso se considerará que el alumno se encuentra en un nivel de
acción respecto al concepto de operación binaria.
Mencionar
las propiedades explícitamente que satisface un conjunto y
explicarlas de forma correcta sobre un conjunto particular.
Consideraremos que tal alumno se encuentra en un nivel de proceso en
su manejo de operación binaria.
Definir
operaciones binarias, combinarlas, juntarlas para formar una
estructura como espacio vectorial, comparar sus propiedades, darse
cuenta de que un conjunto adquiere una estructura diferente bajo
operaciones binarias distintas, son estrategias que muestra un alumno
que está en un nivel de objeto respecto al concepto de operación
binaria.
Pregunta
2.- Encuentra la suma y la diferencia de cada uno de los siguientes
pares de vectores con la suma usual definida en
- u = (5,6,9) v = (2,4,8)
- u = (2,6,7,8) v = (9,5,3,1)
- u = (2,3,-1) v = (0,1,2,3)
Análisis:
Se
tiene la intención de indagar el nivel de concepción que tiene el
alumno con respecto a las operaciones binarias definidas en un
espacio vectorial, el alumno puede:
No
resolver este ejercicio.
Tratar
de realizar las operaciones indicadas en el inciso iii o presentar
dificultades en los incisos (i) y (ii) para hacer las operaciones de
nivel acción entre los elementos de un espacio vectorial.
Realizar
las operaciones indicadas en los primeros dos incisos, pero presentar
dificultades con las operaciones del inciso iii puesto que no tiene
una regla para poder realizarlas o bien para poder decidir por qué
no se puede. En este caso el estudiante se encuentra en un nivel de
acción respecto al concepto de operación binaria.
Argumentar
sin necesidad de realizar las operaciones que el par de vectores en
el inciso iii no se pueden operar, indicando que ha interiorizado las
acciones de operar con vectores del espacio vectorial dado. Los
argumentos que puede dar el alumno son del estilo “no tienen el
mismo número de componentes”, “este par de vectores no se pueden
operar puesto que pertenecen a espacios vectoriales distintos (R3
y R4)”,
lo que indicaría que se encuentra en un nivel de proceso en su
construcción mental de la operación binaria.
Argumentar
de manera general que el par de vectores en el inciso iii no se
pueden operar puesto que pertenecen a distintos conjuntos y las
operaciones definidas sobre cada una de ellos no permiten realizar
las operaciones indicadas. Esto podría indicar que se encuentra en
un nivel de objeto en su construcción mental del concepto de
operación binaria.
4.
Resultados
Pregunta
1
A1
responde “si
tienes 2 o más vectores y éstos cumplen con las operaciones
binarias entonces forman un espacio vectorial”.
Él relaciona las propiedades indicadas con el concepto de espacio
vectorial. Cuando el entrevistador le cuestiona sobre la propiedad de
cerradura él contesta “W espacio vectorial…, entonces…,
cerrado sería. Sea
,,
=
”,
para las operaciones de suma y multiplicación respectivamente. Para
la asociatividad comienza diciendo que siempre las ha confundido
(asociativa, conmutativa, distributiva) y al final escribe “”
para el caso de la suma. Después de una serie de intentos, el alumno
escribe
para el caso de la multiplicación. Se observa que da una respuesta
correcta en el caso de la suma y, en el caso de la multiplicación,
tiene confusión. Para la propiedad conmutativa da una respuesta
errónea y para la propiedad de distributividad, responde “”
donde se observa que tiene presente la propiedad de distributividad,
en un espacio vectorial. A1 revela que se encuentra en el nivel
acción respecto al concepto de operación binaria.
La alumna A2 escribe
“Que
sea cerrado, significa que la suma de los elementos de los conjuntos
o el producto de los elementos de los conjuntos pertenecen a
cualquiera de los dos conjuntos”.
Se observa que está pensando en dos conjuntos arbitrarios en los
cuales se han definido las operaciones indicadas. Para la propiedad
asociativa ella menciona “Que
sea asociativa significa que si A y B son conjuntos y .
a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c”
. Aunque expresa correctamente la forma de la propiedad asociativa,
los elementos pertenecen a distintos conjuntos, Para la propiedad
conmutativa escribe “Que
sea conmutativo significa que a+b=b+a,
axb=bxa”,
dando
una respuesta correcta en forma, pero en este caso sin mencionar al
conjunto a que pertenecen los elementos. Por último, para la
propiedad distributiva escribe “Que
sea distributivo significa que a(b+c)=ab+ac”,
dando una respuesta correcta en forma, pero otra vez sin mención del
conjunto. Ella muestra elementos de un nivel de proceso respecto al
concepto de operación binaria.
M1 responde “Si
hay un conjunto que cumple con la cerradura de la suma y el producto,
y además con la asociatividad, conmutatividad y distributividad,
entonces este conjunto va a formar un espacio vectorial en el que se
va a poder operar con sus elementos y los resultados de dichas
operaciones van a estar dentro del espacio”.
Él relaciona las propiedades indicadas con el concepto de espacio
vectorial, en su discurso no se encuentran presentes otras
propiedades que debe satisfacer un conjunto para ser llamado espacio
vectorial. Lo anterior puede indicar que M1 se encuentra en un nivel
de proceso en cuanto a los axiomas puesto que al menos tiene presente
que con ciertas propiedades dadas sobre un conjunto, éste forma una
estructura. Sobre la propiedad de cerradura el alumno responde
“cerradura
bajo la suma, si se tiene 2 elementos que pertenecen al mismo espacio
y se suman, el resultado va a estar contenido también en el espacio.
Cerradura bajo el producto, un elemento del espacio se va a
multiplicar por un escalar que pertenece al campo del espacio
vectorial y el resultado va a estar también contenido en el
espacio”.
Se observa que percibe las propiedades indicadas sobre un espacio
vectorial arbitrario, para la suma menciona la propiedad de cerradura
en un espacio y para la cerradura del producto menciona un campo del
espacio vectorial para poder operar y definir la cerradura del
espacio vectorial bajo la multiplicación por un escalar. El alumno
sigue plasmando sus respuestas: “Asociatividad,
si se tiene 3 elementos del espacio a,b,c cumplen con esta regla
(a+b)+c=a+(b+c). Conmutatividad, se cumple con la cerradura bajo el
producto siendo
un elemento del campo del espacio, las combinaciones que se hagan con
la suma y el producto van a estar contenidos en el campo y .
Distributividad, hay 2 elementos en el espacio vectorial y 2
escalares que pertenecen al campo del E.V, entonces
pertenece al espacio ”.
Para la asociatividad de la suma M1 da una respuesta correcta; sin
embargo confunde las propiedades conmutativa y distributiva, dando
respuestas erróneas para cada una de ellas. M1 muestra elementos de
un nivel de proceso respecto al concepto de operaciones binarias.
La primera reacción
del alumno M2 es “Espacio
vectorial”,
lo que indica que relaciona las propiedades dadas con el concepto de
espacio vectorial y no muestra tener presentes las demás, lo que
puede indicar que tiene elementos de un nivel de proceso en cuanto al
concepto de operación binaria. Cuando el entrevistador le va
preguntando sobre cada una de las propiedades el alumno escribe
“Cerradura
de la Suma, cualquiera dos vectores al sumarlos, el resultado está
dentro del espacio vectorial, Cerradura del producto, sea V espacio
vectorial sobre el campo K y escalar
en K,
”.
Se observa que el alumno responde de forma correcta a las propiedades
indicadas, aunque la multiplicación la interpreta como el producto
por un escalar. Cabe señalar que el alumno concibe estas propiedades
sobre un espacio vectorial cualquiera, aunque presenta una confusión
de la propiedad asociativa con la propiedad distributiva. Cuando se
le cuestiona sobre la propiedad distributiva él menciona que no se
acuerda de cuál se trata. En cambio para la propiedad conmutativa,
responde “Conmutativa,
tomando dos elementos al sumarlos en cualquier orden el resultado
está dentro del espacio vectorial”,
en donde se observa que concibe que es suficiente con que la suma
(sin importar el orden) se encuentre dentro del espacio vectorial
para decir que la propiedad conmutativa se satisface. Esta respuesta
indica que no todas las acciones dictadas por estas propiedades se
han interiorizado en procesos.
La primera respuesta
del alumno B1 es “Que
es un espacio vectorial”,
lo que indica que relaciona las propiedades dadas con el concepto de
espacio vectorial. Cuando el entrevistador cuestiona sobre las otras
propiedades B1 responde “Cerrada
significa que la suma de dos vectores esté dentro del mismo espacio
vectorial. Al hacer el producto de un vector por un escalar, que el
resultado esté dentro del mismo espacio vectorial”,
lo que significa que concibe las operaciones binarias sobre un
espacio vectorial arbitrario y bajo esta perspectiva el alumno define
la propiedad de cerradura de la multiplicación sobre un espacio
vectorial tomando escalares en un campo. B1 responde:
“Asociativa .
Conmutativa .
Distributiva .
”.
En la asociatividad se observa que responde de forma correcta en el
caso de la suma, en el caso de la multiplicación involucra al campo
de los escalares. B1 presenta la propiedad conmutativa multiplicando
un escalar con un elemento del espacio vectorial y, responde de forma
correcta a la propiedad distributiva. Asimismo presenta elementos de
un nivel de proceso en cuanto al concepto de operación binaria.
B2 dice “…significa
que cumple con las propiedades esen…., principales esenciales de un
espacio vectorial ¿no?”,
indicando que relaciona las propiedades con el concepto de espacio
vectorial. B2 responde a la propiedad conmutativa de forma correcta,
las otras las confunde o no se acuerda de ellas, explícitamente
menciona “A
ver, asociativo, conmutativo… no la verdad no, no me acuerdo, es
que bueno las tres se pueden, se parecen y entonces por eso se, se
pueden confundir. Y entonces por eso”.
Por un lado B2 puede percibir que las propiedades definidas sobre un
conjunto forman estructuras y por otro lado confunde las propiedades
sin explicitarlas correctamente. Sus respuestas indican que presenta
dificultades incluso para realizar operaciones en nivel de acción.
Pregunta 2.
A1
realiza los ejercicios que se le proporcionan; en el inciso tres
comienza a realizar la operación pedida pero se da cuenta que faltan
componentes “Bueno,
esto no se puede”.
Cuando el entrevistador lo cuestiona, él responde de forma
satisfactoria argumentando que se está intentando operar elementos
pertenecientes a espacios diferentes. Se puede considerar que A1 se
encuentra en un nivel de proceso respecto a la operación binaria.
A2
responde que en el inciso iii no se pueden realizar las operaciones,
puesto que los elementos a operar no tienen el mismo número de
componentes. Esta alumna muestra estar en el nivel de proceso en
relación al concepto de operación binaria.
M1 empieza a
realizar todas las operaciones indicadas; cuando el entrevistador le
pregunta si pudo realizar todas, inmediatamente tacha las que ha
realizado en el inciso iii. Al cuestionarle sobre su proceder
argumenta que uno de los vectores tiene menos elementos y por lo
tanto no se puede realizar la operación. Sus respuestas indican que
se encuentra en un nivel entre acción y proceso respecto al concepto
de operación binaria.
M2
comienza a realizar las operaciones indicadas en el inciso iii; sin
embargo, argumenta que no se pueden realizar puesto que se trata de
vectores pertenecientes a espacios vectoriales distintos. Este alumno
se encuentra en un nivel entre acción y proceso respecto al concepto
de operación binaria.
B1
realiza las operaciones indicadas en los incisos i y ii, en el iii
pregunta “No
se puede realizar la suma ¿o sí?”. Cuando
el entrevistador le cuestiona el por qué no se puede, B1 argumenta
que uno de los vectores tiene menos elementos que el otro. Su
respuesta indica que se encuentra en un nivel de proceso respecto al
concepto de operación binaria.
Desde
un principio B2 presenta dificultades para realizar las operaciones
dadas, al llegar al tercer inciso menciona que no se pueden realizar
las operaciones puesto que se tratan de vectores que se encuentran en
espacios distintos, reflexiona durante su trabajo con los primeros
dos incisos acerca de las operaciones que realiza para posteriormente
darse cuenta, sin tener que realizar la operación, que la operación
en el inciso iii no es posible. B2 confunde las operaciones con el
producto punto de vectores durante la entrevista. Podemos decir que
sus respuestas son conflictivas y a veces muestra dificultades
incluso para considerarlo en un nivel de acción.
5.
Conclusiones
La mayoría de los
alumnos entrevistados relacionan las propiedades indicadas (pregunta
1) con el concepto de espacio vectorial, quizá por que el curso de
álgebra es el primer curso formal que toman y en los materiales que
utilizaron han visto estas propiedades junto con este concepto, con
lo cual es muy difícil que puedan separarlas del concepto de espacio
vectorial. En términos de la teoría se puede decir: perciben los
axiomas en un nivel de acción, no coordinan los diez axiomas que
satisface un espacio vectorial como un solo proceso de verificación.
Tampoco muestran elementos de haber encapsulado el proceso que
implican las operaciones binarias en un objeto. Presentan
dificultades para relacionar los esquemas de: Operaciones
binarias, espacio vectorial, axiomas, conjunto.
Los
alumnos pueden justificar la imposibilidad de la operación indicada
en el inciso iii, aunque algunos tienen que empezar a realizar la
operación para darse cuenta de este hecho. En las respuestas se
observa que algunos alumnos hacen referencia a la pertenencia de los
vectores a distintos espacios vectoriales y otros únicamente
mencionan que tienen distinto número de elementos. La diferencia de
respuestas indica a conceptualizaciones distintas de las operaciones
binarias y su relación con el espacio vectorial. En el primer caso
se puede considerar que dicha relación ha sido construida, mientras
que, en el segundo, la relación aparentemente no se ha construido
completamente.
6.
Referencias bibliográficas
Asiala
et al.(1996): A framework for research and curriculum development in
undergraduate mathematics education. In J. Kaput, A. H. Schoenfeld,
E. Dubinsky (Ed.s) Research in Collegiate Mathematics Education. Vol.
2. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 1-32.
Dorier;
L, Sierpinska; A. (2001): Research into the teaching and learning of
linear algebra. In Derek Holton (Ed.), The teaching and Learning of
Mathematics at University Level: An ICMI Study. Kluwer Academic
Publisher. Printed in Netherlands. Pp. 255-273.
Dubinsky,
Ed. (1991) The constructive aspects of reflective abstraction in
advanced mathematics, in (L. P. Steffe, ed.) Epistemological
Foundations of Mathematical Experiences,
New York: Springer-Verlag.
Dubinsky, Ed.(1996):
Aplicación de la perspectiva piagetiana a la educación matemática
universitaria. Educación Matemática. 8(3), 25 – 41.
Dubinsky,
Ed., McDonald, M, et al. (2001) APOS: A Constructivist Theory
of Learning in Undergrad Mathematics Education Research. In D. Holton
et. (Eds.), The teaching and Learning of Mathematics at University
Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers, 273-280
Fischer; A (2005):
Mental models of the concept of vector space. articulo presentado en
el Congreso de Sociedad Europea de Investigación en Matemática
Educativa (CERME) España.
Maracci; M (2005):
On some difficulties vector space theory, articulo presentado en el
Congreso de Sociedad Europea de Investigación en Matemática
Educativa (CERME) España.
Trigueros, M. y
Oktaç, A. (2005). La
Thèorie APOS et l’Enseignement de l’Algèbre Linéaire. Annales
de Didactique et de Sciences Cognitives, vol. 10, 157-176.
Weller,
K., Montgomery, A., Clark, J., Cottrill, J., Trigueros, M., Arnon,
I., Dubinsky, E. (2002), Learning Linear Algebra with ISETL,
disponible en: http://www.ilstu.edu/~jfcottr/linear-alg/
7.
Tres palabras claves: Espacio vectorial, teoría APOE, ciclo ACE.
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